７．素因数分解の利用（２）

【類題】
　（１）96にできるだけ小さい自然数を掛けて，ある数の２乗にしたい。どのような数をかければよいか。


　（２）√525ａ(√の中が525ａ)の値を，０でないできるだけ小さい整数にしたい。整数ａの値を求めなさい。



【考え方】
どちらも，｢96や525に『何か』を掛けたもの」が，ある数の２乗になればよい。｢何か」をさがすために，素因数分解だっ！



【解】
　（１）96を素因数分解すると，96＝2⁵×3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×２×２×２×２×３
　　　２が５個と，３が１個掛け合わされている。素数の偶数乗の積にするには，２が１個，３が１個余計だ。
　　　これに，２を１個と３を１個掛ければ，

　　　２×２×２×２×２×３×２×３
　　＝２×２×２×３×２×２×２×３
　　＝(２×２×２×３)×(２×２×２×３)

　　　となるので，２×３＝６　を掛ければよい。

なお，極端な話，96には96を掛ければ，(96の)２乗になるが，これでは，できるだけ小さい自然数という条件が満たされない。残った２が１個，３だけを生かすこと。

また，この問題が，｢96をできるだけ小さい自然数で割って」であっても，同じ結果になる。

（答え）６



　（２）√ａは，｢２乗するとａになる数(ａの平方根)のうちの正の方」である。
　　　　√付きの数を整数にしたいということは，√なしの数にする，すなわち，｢ルートを外せ」ということ。
　　　　√9のように，√の中の数が何かの２乗になっていれば，√を外すことができる。(√9＝√3²＝3)

　　　　※　平方根がヤバイ人は，フリーページ「ヘイヘイホー・へいほうコ～ン」をお読みください。

　　　　525を素因数分解すると，525＝3×5²×7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３×５×５×７
　　　素数の偶数乗の積にするには，３が１個，７が１個余計だ。
　　　これに，３を１個と７を１個掛ければ，

　　　３×５×５×７×３×７
　　＝３×３×５×５×７×７
　　＝(３×５×７)×(３×５×７)

　　　となるので，３×７＝21　を掛ければよい。

　　　なお，√を無視して説明したが，√付きだと，
　　　√(３×５×７)×(３×５×７)
　　＝√(3×5×7)²
　　＝√105²
　　＝105　となる。

（答え）２１